More Details about Kronig-Penny Model

摘要：Kronig-Penny模型是能带理论的经典模型，但大多数教科书仅止步于说明能带间隙的产生，而没有返回讨论波函数的定性分布情况。本文第一、二部分罗列了经典的求解过程，第三部分用数值计算的方法，重点讨论了特定能量下的波函数分布，给出直观的呈现，第四部分做定性半定量讨论。

0. Question

存在以上周期势场，求电子波函数分布？最后可以通过$b\to 0,U_0\to \infty,bU_0= 常数$b→0,U0​→∞,bU0​=常数来化简问题。其中的技巧是要用到布洛赫函数的性质：
$\psi(x+T)=\psi(x)e^{ikT}$ψ(x+T)=ψ(x)eikT
用人话表述是：晶体中电子波函数具有调幅的平面波形式。

1.Basic Equation

$-b&lt;x&lt;0$−b<x<0
$\psi(x)=Ce^{Q x}+De^{-Q x} ,Q^2=\frac{2m(U_0-E)}{\hbar^2}$ψ(x)=CeQx+De−Qx,Q2=ℏ22m(U0​−E)​

$0&lt;x&lt;a$0<x<a
$\psi(x)=Ae^{iK x}+Be^{-iK x} ,K^2=\frac{2mE}{\hbar^2}$ψ(x)=AeiKx+Be−iKx,K2=ℏ22mE​

$a&lt;x&lt;a+b$a<x<a+b
$\psi(x)=[Ce^{Q (x-a-b)}+De^{-Q (x-a-b)}]e^{ik(a+b)}$ψ(x)=[CeQ(x−a−b)+De−Q(x−a−b)]eik(a+b)

$x=0$x=0处$\psi(x),\psi(x)&#x27;$ψ(x),ψ(x)′连续：
$A+B=C+D \\ iK(A-B)=Q(C-D)$A+B=C+DiK(A−B)=Q(C−D)
$x=a$x=a处$\psi(x),\psi(x)&#x27;$ψ(x),ψ(x)′连续：
$Ae^{iK a}+Be^{-iK a}=(Ce^{-Qb}+De^{Q b})e^{ik(a+b)}\\ iK(Ae^{iKa}-Be^{-iKa})=Q(Ce^{-Qb}-De^{Qb})e^{ik(a+b)}$AeiKa+Be−iKa=(Ce−Qb+DeQb)eik(a+b)iK(AeiKa−Be−iKa)=Q(Ce−Qb−DeQb)eik(a+b)

有解条件是系数行列式为0，物理意义是这里的振幅没有归一化，全是成比例的，所以需要可约化。
$[\frac{(Q^2-K^2)}{2QK}]sinh (Qb)sin(Ka)+cosh(Qb)cos(Ka)=cos(ka+kb)$[2QK(Q2−K2)​]sinh(Qb)sin(Ka)+cosh(Qb)cos(Ka)=cos(ka+kb)
为了简化问题，令$b=0,U_0\to \infty ,Q^2ab/2\equiv P $ ,即为周期性$\delta(x)$δ(x)势场，也成为狄拉克梳。此时可化为：
$\frac{P}{Ka}sin(Ka)+cos(Ka)=cos(ka)$KaP​sin(Ka)+cos(Ka)=cos(ka)

2.More Details

为了便于数值求解，令$a=1,P=3\pi/2$a=1,P=3π/2,系数行列式可化为：
$\frac{1.5 \pi}{ K}sin(K)+cos(K)=cos(k)$K1.5π​sin(K)+cos(K)=cos(k)

横轴表示$K$K(能量)随逐渐变大，但等式右边的值必须介于$[-1,1]$[−1,1]否则得不到波矢量$k$k的值，因此$K$K的取值是有限制的，这就是解释了为什么会存在禁带。图中我们看到最小的能量在“1”处，对应$K=2.251$K=2.251，这与自由电子最小能量从零开始是不一样的。“3”和“4”的波矢均为$\pi$π，但两者存在能量差，这就是两分立能级间的禁带宽度。能带图如下：

一般我们只看第一布里渊区的能谱图。

3.波函数

为了更直观地表现粒子的运动状态，我们用数值计算“1”-"6"对应一个周期$[0,1]$[0,1]内的波函数分布$|\psi(x)|^2$∣ψ(x)∣2。
$\begin{array}{c|lcr} n &amp; \text{K} &amp; \text{cos(k)} &amp; \text{k} \\ \hline 1 &amp; 2.251 &amp; 1 &amp; 0 \\ 2 &amp; 2.631 &amp; 0 &amp; \pi/2 \\ 3 &amp; 3.141 &amp; -1 &amp; \pi \\ 4 &amp; 4.715 &amp; -1&amp; \pi \\ 5 &amp; 5.428 &amp; 0 &amp; - \pi/2 \\ 6 &amp; 6.280 &amp; 1 &amp; 0\\ \end{array}$n123456​K2.2512.6313.1414.7155.4286.280​cos(k)10−1−101​k0π/2ππ−π/20​​
$\psi(x)=Ae^{iK x}+Be^{-iK x}$ψ(x)=AeiKx+Be−iKx
这里可先令$A=1,b=0.0001$A=1,b=0.0001，求得$B$B:
$B=\frac{e^{ik}(ibK-1)+e^{iK}}{e^{ik}(ibK+1)-e^{-iK}}$B=eik(ibK+1)−e−iKeik(ibK−1)+eiK​
再对$\int_0^1|\psi(x)^2|dx=1$∫01​∣ψ(x)2∣dx=1做归一化。
$\psi(x)=\frac{\psi(x)}{\sqrt E}\\E=1+|B|^2+2sin(K)/K[real(B)*cos(K)+imag(B)*sin(K)]$ψ(x)=E​ψ(x)​E=1+∣B∣2+2sin(K)/K[real(B)∗cos(K)+imag(B)∗sin(K)]
经过简单的数值运算，得到

4.Discussion

• 容易看出，第一能带有一个峰，第二能带有两个峰，当能量逐渐增大时，峰越来越往里“挤”；
• 第一能带由低能到高能，$k$k由$0\to \pi$0→π。第二能带由低能到高能，$k$k由$\pi\to 0$π→0；
• 相同的$k$k值可以对应不同能带中对应的能量；
• 最后给个有趣的现象，当第一能带逐渐增大时，在$k=\pi$k=π时有波形的突变，这也是和自由电子很不一样的地方，这也正是狄拉克梳势场的结果：
  
  结论对其他能带同样适用。
• 另外可以自行体会价带顶和导带底波形的异同点。