近似三次贝塞尔曲线的最佳方法是什么？理想情况下，我想要一个函数 y(x)，它可以为任何给定的 x 提供精确的 y 值，但这将涉及为每个 x 值求解一个三次方程，这对我的需要来说太慢了，并且可能存在数值稳定性问题以及这种方法。
this 会是一个好的解决方案吗？
【问题讨论】：
只需解三次方即可。
如果您谈论的是贝塞尔平面曲线，其中 x(t) 和 y(t) 是三次多项式，那么 y(x) 可能未定义或具有多个值。极端退化的情况是线 x= 1.0，可以表示为三次贝塞尔曲线（控制点 2 与端点 1 相同；控制点 3 与端点 4 相同）。在这种情况下，y(x) 对于 x != 1.0 没有解，对于 x == 1.0 则没有无限解。
递归细分的方法会起作用，但我希望它比仅仅求解三次要慢得多。 （除非您正在使用某种浮点容量异常差的嵌入式处理器。）
您应该可以毫不费力地找到解决已经过彻底测试和调试的三次方的代码。如果您使用递归细分来实现自己的解决方案，您将不会拥有这种优势。
最后，是的，可能存在数值稳定性问题，例如当您想要的点靠近切线时，但细分方法不会使这些问题消失。这只会让它们变得不那么明显。
编辑：回复您的评论，但我需要超过 300 个字符。
我只处理 y(x) 只有一个（实）根的贝塞尔曲线。关于数值稳定性，使用http://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_equation#Summary 中的公式，如果 u 非常小，可能会出现问题。 – jtxx000
古怪的文章是没有代码的数学。我怀疑您可以在某处找到一些更易于使用的食谱代码。也许是 Numerical Recipies 或 ACM 收集的算法link text。
对于您的具体问题，使用与文章相同的符号，当 p 也为零或接近零时，u 仅为零或接近零。它们通过以下等式相关：u^^6 + q u^^3 == p^^3 /27
接近零，您可以使用近似值：q u^^3 == p^^3 /27
或p / 3u == q 的立方根
因此，从 u 计算 x 应包含以下内容：
(fabs(u) >= somesmallvalue) ? (p / u / 3.0) : cuberoot (q)
“接近”零有多接近？取决于你需要多少准确度。您可以花一些时间在 Maple 或 Matlab 上查看对于 u 的大小引入了多少误差。当然，只有你自己知道你需要多少准确度。
这篇文章给出了 u 的 3 个公式，用于三次方的 3 个根。给定三个 u 值，您可以获得 3 个对应的 x 值。 u 和 x 的 3 个值都是具有虚部的复数。如果您确定必须只有一个实解，那么您期望其中一个根的虚部为零，而另外两个为复共轭。看起来你必须计算所有三个，然后选择真正的一个。 （请注意，复数 u 可以对应于实数 x！）但是，还有另一个数值稳定性问题：浮点运算就是这样，实数解的虚部不会完全为零，而虚部非实根可以任意接近零。因此，数字四舍五入可能会导致您选择错误的根。如果您可以在应用程序中进行一些健全性检查，这将很有帮助。
如果您选择了正确的根，Newton-Raphson 的一个或多个迭代可以大大提高它的准确性。
【讨论】：
是的，de Casteljau 算法适合您。不过不知道会不会比卡尔达诺法解三次方程快。
【讨论】：
t-values 相比，此方法将确保一条均匀“平滑”的曲线。