分治算法用于在数组中查找峰值。

Question

对于数组a：a₁, a₂, ... a_k, ... a_n, a_k 是一个峰当且仅当 a_k-1 ≤ a_k ≥ a_k+1 时1 1 ≥ a₂ a₁ 是一个峰，如果 a _{an 是一个峰>n-1} ≤ a_n。目标是从数组中找到一个峰。

分治算法如下：

find_peak(a,low,high):
    mid = (low+high)/2
    if a[mid-1] <= a[mid] >= a[mid+1] return mid // this is a peak;
    if a[mid] < a[mid-1] 
        return find_peak(a,low,mid-1) // a peak must exist in A[low..mid-1]
    if a[mid] < a[mid+1]
        return find_peak(a,mid+1,high) // a peak must exist in A[mid+1..high]

为什么这个算法是正确的？我认为它可能会丢失存在峰值的数组的一半。

Answer 1

该算法是正确的，尽管它需要一些微积分来证明。 第一种情况是微不足道的→峰值。 第二种情况是“半峰”，意味着它有下坡，但没有上坡。

这里有两种可能性：

• 函数单调递减，直到 a_mid → a₁ ≥ a₂ 为峰值。
• 函数直到a_mid才单调递减→有一个1≥k≥mid，其中a_k≥a_{k-1子>。让我们选择这个陈述成立的最大 k → ak+1k} ≥ a_k-1 → 这就是峰值.

类似的论点可以应用于具有相反“半峰”的第三种情况。