离散曲线下求面积的计算复杂度答案

【问题标题】：Computational Complexity of Finding Area Under Discrete Curve离散曲线下求面积的计算复杂度
【发布时间】：2018-11-04 16:01:39
【问题描述】：

如果我的问题被严重误导或范围过于宽泛，我深表歉意。数学不是我最擅长的科目。对于上下文，我试图找出计算离散曲线下面积的计算复杂度。在我感兴趣的特定用例中，y 轴是队列的长度，x 轴是时间。曲线将始终具有以下界限：它从零开始，由多个大于零的时间戳样本组成，最终缩小到零。我最初的研究已经产生了解决这个问题的两种潜在的数学方法。第一个是域 [a, b] 上的 Reimann 和，其中 a 最初为零，b 最终为零（不确定我的理解是否完全正确）。我认为这个公式的数学表示可以在这里找到：

https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_sum#Connection_with_integration。

第二个是离散卷积。但是，我无法区分离散卷积和域 [a, b] 上的 Reimann 和之间的区别和适用性，其中 a 最初为零，b 最终为零。

我的问题是：

这两者有区别吗？
哪种方法最适合/最有效地解决我要弄清楚的问题？
问任何一种数学方法的计算复杂度是否合适？如果是这样，在这个特定的应用程序中每个的复杂性是什么？

编辑：为了增加上下文，将有一个函数计算平均队列长度，方法是将两条单独曲线下的面积之和除以跨越这两条曲线的总时间间隔。具体应用可见本文第168页：https://www.cse.wustl.edu/~jain/cv/raj_jain_paper4_decbit.pdf

【问题讨论】：

如果用离散卷积来解决这个问题，两个输入函数会是什么？
这在cs.stackexchange.com 上不是更好吗？
@MattTimmermans 我不知道如何回答这个问题，这可能表明我存在更大的误解。
@harold 我会试着把它贴在那里看看我得到了什么。
对于不太懂数学的人来说，看起来你正试图将大量数学应用到一个基本简单的问题上。为什么答案不是“只是将所有长度样本相加并乘以时间戳间隔”？

标签： algorithm time-complexity calculus

【解决方案1】：

这两者有区别吗？

discrete convolution 需要两个函数。如果第一个对应于离散曲线，那么第二个是什么？

哪种方法最适合/最有效地解决我想要弄清楚的问题？

Riemann sum 是一个积分的近似值。它通常用于近似连续曲线下的面积。您当然可以在离散曲线上使用它，但它不再是近似值，我不确定您是否可以将其称为“黎曼”和。

问这两种数学方法的计算复杂度是否合适？如果是这样，在这个特定的应用程序中每个的复杂性是什么？

无论如何，计算离散曲线下面积的复杂性与样本数量呈线性关系，很容易找到原因：您需要对每个样本进行一次或两次处理。

您可能想要的看起来像是带有trapezoidal rule 的黎曼和。选择前两个样本，计算它们的平均值，然后将其乘以两个样本之间的距离。对每一对相邻的对重复并将其全部相加。

【讨论】：

我想这两个输入函数将是两条离散曲线（有关上下文cse.wustl.edu/~jain/cv/raj_jain_paper4_decbit.pdf，请参见此处的第 168 页）。我很可能误解了卷积。谢谢你的反馈。我会研究梯形规则！

【解决方案2】：

所以，这是参考论文中的路由器反馈过滤器...

该算法是专门设计的，因此您可以在不存储大量样本和时间戳的情况下实现它。

它的工作原理是在每个周期内累积总 queue_length * time。

在每个“循环”开始时，记录当前队列长度和当前时钟时间，并将当前循环的总和设置为0。（论文定义循环使得队列长度在开始时为0，但这并不重要）
每次队列长度变化时，获取新的当前时钟时间并将(new_clock_time - previous_clock_time) * previous_queue_length加到总数中。在循环结束时也这样做。然后，记录新的当前队列长度和当前时钟时间。
当需要计算当前“平均队列长度”时，只需(previous_cycle_total + current_cycle_total + (current_clock_time - previous_clock_time)*previous_queue_length) / total_time_since_previous_cycle_start

【讨论】：