我有以下递归：
if(a%2 == 0){
f([a1,a2,...,aN],a,N) = (a1 + aN)/2 + f([a1,a2,...,a(N-1)],a+1,N-1)/2 +
f([a2,...,aN],a+1,N-1)/2;
}
else{
f([a1,a2,...,aN],a,N) = f([a1,a2,...,a(N-1)],a+1,N-1)/2 +
f([a2,...,aN],a+1,N-1)/2;
}
基本情况：
f([a1,a2],a,2) = (a1+a2)/2;
显然，如果我递归地实现它，就会出现堆栈溢出。我应该如何利用动态规划来获得这个递归的最优解？
[a1,a2,..,aN] 表示一个整数数组。
N 的限制是 2000 和 a1,a2,..,aN
【问题讨论】：
这闻起来很像家庭作业问题。我建议您与讲师或助教见面，因为这是最好的互动学习方式。如果您使用此信息，请务必引用，以免抄袭。
首先，观察结果在值[a0, a1, ... aN] 中是线性的。因此，您实际上只需要跟踪它们的系数。出于符号的目的，让我们写{b1, b2, ..., bN} 来代表b1 * a1 + b2 * a2 + ... bN * aN。
接下来，手工算出一些递归：
f([a1, a2], a, 2) = { 1/2, 1/2 } 是N=2 的基本情况。
我们来看看N=3：
f([a1, a2, a3], a, 3) 为 a 甚至 = {1/2, 0, 1/2} + { f([a1, a2], a+1, 2)/2, 0 } + { 0, f([a2, a3], a+1, 2)/2 } = { 1/2, 0, 1/2 } + { 1/4, 1/4, 0 } + { 0, 1/4, 1/4 } = { 3/4, 1/2, 3/4 }。
f([a1, a2, a3], a, 3) 为 a 奇数 = { f([a1, a2], a+1, 2)/2, 0 } + { 0, f([a2, a3], a+1, 2)/2 } = { 1/2, 0, 1/2 } + { 1/4, 1/4, 0 } + { 0, 1/4, 1/4 } = { 1/4, 1/2, 1/4 }。
现在N=4:
f([a1, a2, a3, a4], a, 4) 为 a 甚至 = { 1/2, 0, 0, 1/2 } + { f[a1, a2, a3], a+1, 3)/2, 0 } + { 0, f([a2, a3, a4], a+1, 3)/2 }。因为a 是偶数，a+1 是奇数，所以我们是F([], even, 3)。 f([a1, a2, a3, a4], a, 4) 为 a 甚至 = { 1/2, 0, 0, 1/2 } + { 1/8, 1/4, 1/8, 0 } + { 0, 1/8, 1/4, 1/8 } = { 5/8, 3/8, 3/8, 5/8 }。
f([a1, a2, a3, a4], a, 4) 为 a 奇数 = { f[a1, a2, a3], even, 3)/2, 0 } + { 0, f([a2, a3, a4], even, 3)/2 } = { 3/8, 1/4, 3/8, 0 } + { 0, 3/8, 1/4, 3/8 } = { 3/8, 5/8, 5/8, 3/8 }。
现在您可以看到系数仅取决于 N 以及 a 是偶数还是奇数。
这意味着您的动态规划只需要记住N 和布尔值的每个组合的系数。由于N 的上限为 2000，这意味着您只需要 4000 个条目，这不应该是太大的负担。事实上，您可以放弃递归，像我们上面所做的那样简单地增量计算整个表。
【讨论】：
{1/2, 1/2} 表示(1/2)*a1 + (1/2)*a2。
您需要存储所有 a,N 值对的答案
【讨论】：
可以以增量方式计算每个 ai 的系数。我相信给定 n 的一半系数需要计算，因为另一半将包含重复的元素。所以每个 n 将在表中包含 n/2 个值。这种方法将导致 n^2 运行时间。不知道这是否可以进一步改进。
【讨论】：