我可以可靠生成的最小非零数是多少？答案

【问题标题】：What is the Smallest Nonzero Number that I can Reliably Generate?我可以可靠生成的最小非零数是多少？
【发布时间】：2021-01-20 05:46:12
【问题描述】：

我正在做一些图形类型的工作，我经常想将两点之间的斜率作为 dy / dx。但是，如果我的 dx 正好为零，我会得到一个被零除的错误。

如果 dx 为零，我可以将其设置为较小的值，例如 0.001。不过，我想提高我的解决方案的准确性。

对于这个给定的问题可能有更好的解决方案，但我确信存在其他问题，其可能的解决方案要求同样的事情：最小可能的非零数。

另外，获得它有多贵？这个数字是否有很大的可能性无法可靠地复制，可能是由于舍入误差？

【问题讨论】：

我认为这是meta.stackexchange.com/questions/66377/what-is-the-xy-problem 我怀疑您是否可以使用最小的非零数字来实现您的目的。您真正想要的是仍然可以计算出有意义的斜率的最小数字。但是对于零的 delta x，如果它存在，则存在一个有意义的斜率，即“垂直”。所以我认为你真正应该做的是对任何 0-deltax 使用语义上的“垂直”，而不是将 deltax 更改为只给你一个看似有意义的斜率的东西。
如何做到这一点当然是一个不同的问题。请更详细地描述您的背景。然后我们可以为您的需要寻找解决方案，而不是帮助您强制您目前遵循的最终可能是死路一条。
为什么这个标签both C 和 Python？它们的浮点类型不等价。您正在寻找哪种语言的特定类型？你知道 Python 也有任意精度的有理类型吗？
宫城先生，不，我不知道！我想知道每种语言的答案。 Yunnosch，我不是在寻找特定问题的解决方案。我问这样我可能能够更好地解决未来的问题。没有死胡同。

标签： python c divide-by-zero

【解决方案1】：

您可以为此使用decimal 模块吗？您可以使用以下方法制作一个非常小的固定浮点值：

import decimal
from decimal import Decimal

>>> almost_zero = Decimal((0, (1,), decimal.getcontext().Emin))
>>> almost_zero
Decimal('1E-999999')

这是一个非常小的数字，应该适合您的目的。

>>> 1 / almost_zero
Decimal('1E+999999')

或者你可以从sys.float_info中挖掘一些东西。

>>> import sys
>>> sys.float_info
sys.float_info(max=1.7976931348623157e+308, max_exp=1024, max_10_exp=308, min=2.2250738585072014e-308, min_exp=-1021, min_10_exp=-307, dig=15, mant_dig=53, epsilon=2.220446049250313e-16, radix=2, rounds=1)
>>> almost_zero = sys.float_info.min
>>> 1 / almost_zero
4.49423283715579e+307

【讨论】：

【解决方案2】：

我正在做一些图形类的东西

那就考虑研究一下GNUplot的源代码（求灵感）。是free software.... 也可以看看GraphViz的源码里面。是open source。

我可以可靠生成的最小非零数是多少？

理论上，这可能是特定于编译器的，也可能是特定于实现的。

n1570 草案 C 标准在 §5.2.4.2.2 中提到了一些 DBL_EPSILON 宏....

我建议显式编码 if (dy==0.0) return;，因为在当前的计算机上速度非常快。实际上，像if (fabs(dy)<4.0*DBL_EPSILON) return; 这样的测试可能会更好（但会运行得更慢）。

关于 C 代码中的 rounding errors（在实践中），请参阅 floating point guide，然后考虑使用 Fluctuat tool 或 CADNA tool 或 ABSINT tool。

如果您想分析二进制可执行文件中的舍入错误，请联系我在 BinSec 工作的同事。

您还可以使用一些 arbitrary-precision arithmetic 库，例如 GMPlib。

这个数字是否有很大的可能性无法可靠地复制，可能是由于舍入误差？

浮点舍入错误的概率static analysis（在编译时）高于最先进的水平。考虑撰写关于该主题的博士论文。您的博士生导师可能是美国的Patrick Cousot 或法国的Eric Goubault 或Sylvie Putot 或Emmanuel Haucourt。或者来自Frama-C 团队（法国巴黎附近）的一些同事（例如Franck Védrine）。还可以查看ACM SIGPLAN 会议的会议记录。

也许在 2021 年中期，您可能会使用 RefPerSys 或 Bismon 来分析您的 C 代码（或者可能是您的 Python 代码；另请参阅 this）？在这种情况下，请通过电子邮件与我联系。

请注意，浮点舍入错误确实杀死了数十人（并且可能解释了一些 Boeing 737 MAX 崩溃）。定点溢出与Ariane 501 failure 有关。所以你未来的博士（关于浮点错误的静态分析）可以由Boeing、Airbus、NASA、ESA、Dassault 或CNES 共同资助，可能还有国防（炮兵正在使用自 1940 年代以来的计算机）、机器人技术（想想神经外科中的 cobots）或汽车行业（因为 autonomous vehicles 使用浮点数）。

另请阅读已故雅克·皮特拉 (Jacques Pitrat) 的 the blog。它与您的兴趣相关。

2021 年，一个与浮点相关的有趣应用是模拟Covid-19 大流行。所以我想大医院也可以共同资助你的博士学位（例如，为了更好地估计social distancing...在欧洲，不同国家的推荐距离是不同的）。

当然，在美国，NSF（也许还有 Google 或 Facebook）也可以共同资助您的博士学位（我猜美国DoD 也可以共同资助它，因为过去导弹或武器的四舍五入误差确实杀死了几名美国士兵。

附言。如果你开始攻读这些主题的博士学位，请给我发电子邮件。我有兴趣。

【讨论】：

【解决方案3】：

下面是一个程序，可以帮助您实现所需的值。这些值都是在文件<float.h> 中定义的常量，描述了float 或double 使用的位数等常量，以及您可以在程序中使用的最大值和最小值。

DBL_MIN 和 DBL_TRUE_MIN 和 DBL_EPSILON 值得解释一下。您应该阅读有关浮点二进制数的标准 IEEE 754。第一个是可以以全精度表示的最小值，在此之下您可以继续表示数字，但它们会失去越来越多的精度，直到您在 DBL_TRUE_MIN 中只生成一个位，这是您机器中可表示的最小值.但在我看来，您正在寻找的是DBL_EPSILON，这是浮点中两个连续数字之间存在的差距。由于浮点数是相对大小，它以1.0 和1.0 之后的下一个数字之间的差异给出，这意味着数字不能比这更接近（您需要将此*_EPSILON 乘以提供比例尺，以了解在该比例尺下一个数字与下一个数字之间的距离。

为您提供值的程序如下：

#include <stdio.h>
#include <float.h>

#define P(_nam,_fmt) printf("%20s = "_fmt"\n", #_nam, _nam)

int main()
{
        P(FLT_DIG,     "%18d");
        P(FLT_MAX,     "%18.6g");
        P(FLT_EPSILON, "%18.6g");
        P(FLT_MIN,     "%18.6g");
#if FLT_HAS_SUBNORM
        P(FLT_TRUE_MIN,"%18.2g");
#endif
        puts("");
        P(DBL_DIG,     "%18d");
        P(DBL_MAX,     "%18.15lg");
        P(DBL_EPSILON, "%18.15lg");
        P(DBL_MIN,     "%18.15lg");
#if DBL_HAS_SUBNORM
        P(DBL_TRUE_MIN,"%18.2lg");
#endif
}

它在我的系统上给出的结果是（显示float 和double 值）：

             FLT_DIG =                  6
             FLT_MAX =        3.40282e+38
         FLT_EPSILON =        1.19209e-07
             FLT_MIN =        1.17549e-38
        FLT_TRUE_MIN =            1.4e-45

             DBL_DIG =                 15
             DBL_MAX = 1.79769313486232e+308
         DBL_EPSILON = 2.22044604925031e-16
             DBL_MIN = 2.2250738585072e-308
        DBL_TRUE_MIN =           4.9e-324

【讨论】：