从可能的对数中获取原始数组的大小

Question

我有这个功能

public int numberOfPossiblePairs(int n)
{
        int k=2;
        if (k>n-k) { k=n-k;}  
        int b=1;
        for (int i=1, m=n; i<=k; i++, m--)
            b=b*m/i;
        return b;
} 

它会从给定数量的项目中获取您可以制作的配对数量，例如，如果您有一个包含 1000 件商品的数组，您可以制作 499,500 对。但我真正需要的是相反的。换句话说，一个函数将 499500 作为参数，并返回 1000 作为可以产生那么多对的唯一项目的原始数量。 （如果它还可以处理不完美的数字，例如 499501，这将是一个奖励，其中没有多少独特的项目可以产生那么多独特的配对，但它仍然会返回 1000 作为最接近的数字，因为它产生了 499500 配对。）

我意识到我可以逐步循环 numberOfPossiblePairs() 直到我看到我正在寻找的数字，但似乎应该有一种算法方法来做到这一点，而不是像那样强制它。

Answer 1

您的问题归结为一点代数，可以在O(1) 时间内解决。我们首先注意到您的函数没有给出对的排列数，而是给出对的组合数。无论如何，可以轻松更改以下逻辑以适应排列。

我们首先编写选择k的组合数的公式。

设置 n = 1000 和 r = 2 给出：

1000! / (2!(998)!) = 1000 * 999 / 2 = 499500

就像numberOfPossiblePairs(1000) 所做的那样。

继续我们的练习，对于我们的示例，我们有 r = 2，因此：

total = n! / ((n - 2)! * 2!)

我们现在简化：

total = (n * (n - 1)) / 2

total * 2 = n^2 - n

n^2 - n - 2 * total = 0

现在我们可以应用二次公式来求解n。

这里我们有 x = n、a = 1、b = -1 和 c = -2 * 总计 其中给出：

n = (-(-1) +/- sqrt(1^2 - 4 * 1 * (-2 * total))) / 2

由于我们只对正数感兴趣，因此我们排除了负数解决方案。在代码中我们有类似的东西（注意，看起来 OP 正在使用 Java，我不是这里的专家......以下是 C++）：

int originalNumber(int total) {
    int result;
    result = (1 + std::sqrt(1 - 4 * 1 * (-2 * total))) / 2;
    return result;
}

至于如果结果不是整数则返回最接近的值的额外问题，我们可以在强制转换为整数之前简单地将结果四舍五入：

int originalNumber(int total) {
    int result;
    double temp;
    temp = (1 + std::sqrt(1 - 4 * 1 * (-2 * total))) / 2;
    result = (int) std::round(temp);
    return result;
}

现在，当传递500050 之类的值时，实际结果为1000.55，上面将返回1001，而第一个解决方案将返回1000。